Lecture 01 & Reading 2.1 线性方程的几何理解与矩阵

2.1实际上是讨论了对简单的n个方程n个未知数的两种不同的视角：row picture, column picture, 并且介绍了方差与矩阵之间的关系

我们首先看一个两个方程两个未知数的情况

\begin{array}{r} x - 2 y = 1 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{array}

row picture的视角是我们之前所学过的 two lines meeting at a single point(the solution).

这其实是一种数形结合的思想吧，满足x-2y=1方程的所有点的几何在xy平面上表现的形式其实就是一条直线，同理，3x+2y=11也是一条直线，那么两条直线的交点的坐标就是既满足x-2y=1又满足3x+2y=11的(x,y) 也就是方程的解

column picture的视角是从 "vector equation" 的角度

x [\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}] + y [\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 11 \end{matrix}] = b

而这种若干向量按比例相加其实就是向量的线性组合

我们不难发现这个组合的结果应该是(3,1)

我们把方程左边的向量排列叫做方程的 coefficient matrix(系数矩阵)

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ A x = b \\ [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array}] \end{array}

其实我们把(3,1)带进去得到的就是

[\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 11 \end{matrix}]

这是一个标准的矩阵乘法

而对于矩阵乘法其实也对应着row和column两种视角

对于row picture的视角，其实是点乘，或者说左行，是对(1,3)行做了变换

对于column picture的视角，实际上就是线性组合

这点在前面的Chapter 1 Introduce to Vectors其实提到了

下面其实是看了一个Three Equations in Three Unknowns的情况

\begin{array}{r} x + 2 y + 3 z = 6 \\ 2 x + 5 y + 2 z = 4 \\ 6 x - 3 y + z = 2 \end{array}

row picture:

其实上升到三维对于找三条平面的交点就已经比较困难了

相比之下，column picture的视角就很简单很多，是对三个三维向量的向量加法

同样的